Posons la division de 1 par 7. Les restes successifs prennent toutes les valeurs possibles entre 1 et 6, jusqu'à ce que l'on retrouve le reste 1, grâce auquel est assurée la périodicité du développement. On a en effet 1/7 = 0,142857 142857 142857… Regardons de plus près les chiffres de la période.
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Multiplions 142 857 par 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : 142 857 × 1 = 142 857, 142 857 × 2 = 285 714,
142 857 × 3 = 428 571,
142 857 × 4 = 571 428,
142 857 × 5 = 714 285,
142 857 × 6 = 857 142.
Les six produits s'obtiennent par les six permutations circulaires des chiffres de la période ! Un tel entier N de p – 1 chiffres tel que ses p – 1 produits par les nombres de l'ensemble {1, 2…, p – 1} correspondent à toutes les permutations circulaires des chiffres de N est un nombre cyclique. Ces entiers sont liés aux développements en suites décimales illimitées des inverses des nombres premiers. L'inverse d'un nombre premier p n'a pas obligatoirement une période de p – 1 chiffres. En revanche, d'après le petit théorème de Fermat, la période de l'inverse d'un nombre premier p est toujours égale à un diviseur de p – 1. En effet, si p est premier différent de 2 et de 5, alors 10 p–1 est congru à 1 modulo p. Autrement dit, en effectuant la division euclidienne de 10 p–1 par p, le dernier reste est égal à 1, même si ce n'est pas obligatoirement la première occurrence d'un reste égal à 1. Une condition nécessaire pour que l'inverse d'un nombre premier p donne un nombre cyclique est que la période de son inverse comporte p – 1 chiffres. On pense qu'il existe une infinité de tels nombres premiers, mais on ne sait pas le démontrer !
1. Quels sont les cinq premiers entiers p strictement plus grands que 7 dont l'inverse présente une période qui donne un nombre cyclique ?
Le mathématicien français Étienne Midy (né vers 1773), qui enseignait en classe de mathématiques spéciales à Nantes, publia une démonstration de la propriété suivante dans les Nouvelles Annales de Mathématiques : si p est un nombre premier et si 1 / p est une suite décimale illimitée périodique de période paire, alors les chiffres de la seconde moitié de la période sont les compléments à 9 des chiffres de la première moitié.
Ainsi :
1 / 13 = 076923 076923 076 923… (la période compte six chiffres, diviseur de 12), et 923 + 076 = 999. Ou encore : 1 / 17
= 0588235294117647 0588235294117647…
(la période compte 17 – 1 = 16 chiffres), et 94 117 647 + 05 882 352 = 99 999 999.
2. Quels sont les premiers nombres premiers strictement plus grands que 5 dont le développement décimal illimité périodique de l'inverse comporte une période impaire ?
La propriété mise en évidence par Étienne Midy peut se généraliser à des périodes multiples d'un entier donné. Prenons ainsi la période de 1/43, qui compte vingt et un chiffres (un diviseur de 43 – 1 = 42). Or, 21 = 7 × 3. Divisons donc la période de 1 / 43 en groupe de sept chiffres et en groupes de trois chiffres, et dans chaque cas additionnons tous les groupes.
C'est une extension du théorème de Midy ! Les sommes des blocs successifs de k chiffres de la période, où k est un diviseur de la période, sont des multiples de 10k – 1 (nombre formé de k chiffres 9).
3. Existe-t-il des nombres premiers dont la période de l'inverse compte un nombre premier de chiffres strictement plus grand que 5 ?