Pourtant, à la fin du siècle précédent, de nombreux résultats furent démontrés, en dehors de tout formalisme : c’est le cas du théorème spectral, qui affirme que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.
Au milieu du XVIIIe siècle, d’Alembert, puis après lui Euler, se sont intéressés au mouvement d’un solide. La recherche d’axes de rotation a conduit, de fait, à celle de valeurs et de vecteurs propres. C’est par la suite Euler, puis Lagrange, qui ont étudié des problèmes analogues pour démontrer la stabilité du Système solaire. Laplace reprend ce travail et améliore la méthode de Lagrange en utilisant la symétrie des coefficients.
En 1826, Cauchy étudie le problème de manière purement mathématique et conclut dans le cas où les valeurs propres sont toutes distinctes ; Weierstrass obtiendra en 1858 le cas général.
Laplace et les déterminants
C’est en cherchant à résoudre des systèmes d’équations linéaires que le mathématicien écossais Colin MacLaurin (1698‒1746) introduit les déterminants (vers 1729, même si son travail n’est publié de manière posthume qu’en 1748, dans son Treatise of Algebra). En 1750, le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704‒1752) cherche à déterminer les coefficients d’une conique passant par cinq points. Dans son ouvrage Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, ...
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