La transformation dite de Laplace apparaît incidemment dans les travaux statistiques du mathématicien à partir de 1782, comme simple intermédiaire de calcul, généralisation d’une famille de solutions d’équations différentielles introduite en 1744 par Euler. Le savant normand est aussi très inspiré par les travaux de Lagrange relatifs aux oscillations des planètes.
Son nom reste attaché à cette transformation, même si des dizaines d’acteurs ont contribué à la développer et à l’appliquer. Son rôle est reconnu en 1880 lorsque Henri Poincaré (1854‒1912) adopte la terminologie « transformation de Laplace », à la suite de George Boole (1815‒1864). Depuis, l’expression est entérinée de manière universelle.
La transformation de Laplace
Nos cours d’aujourd’hui l’introduisent généralement ainsi. Il s’agit d’une transformation fonctionnelle, c’est-à-dire transformant une fonction f en une autre fonction F. En l’occurrence, F est définie (si cela est possible) par :
La transformation de Laplace permet de résoudre une équation différentielle en la modifiant et en la simplifiant grâce aux propriétés de cette relation. Illustrons ce point sur un exemple élémentaire : comment se transforme la fonction f définie par f (t) = exp(at) ? Dans l’intégrale, l’expression f (t) exp (‒ pt) devient alors exp (‒ ( p ‒ a) t ).
En intégrant directement (voir encadré), on trouve que l’intégrale ...
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