Les racines n èmes de l’unité
Voici des nombres qui portent bien leur nom : n étant un entier non nul donné, les racines nèmes de l’unité sont tous les nombres complexes dont la puissance n ème est égale à 1. Autrement dit, si on les note z, ils vérifient l’équation z n = 1.
Pour n donné, il existe exactement n racines nèmes de l’unité. Un petit calcul dans l’ensemble ℂ des nombres complexes montre qu’elles s’expriment à l’aide de l’exponentielle complexe : pour 0 ≤ k ≤ n‒1, ce sont les nombres
Par exemple, si n = 2, les deux racines sont réelles : on retrouve, bien sûr, 1 et ‒1.
Pour n = 3, on parle de racines cubiques de l’unité : avec les notations classiques, ce sont 1, et
car, effectivement, j 2 est le carré de j.
L’ensemble des racines nèmes de l’unité, muni de la multiplication, forme un groupe Gn qui est, bien sûr, fini et commutatif.
Des dispositions en polygones réguliers
L’un des intérêts des racines de l’unité réside dans le fait suivant : si z est un complexe non nul quelconque et ...
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