Quels sont les moyens de calcul à notre disposition, que l’on utilise un ordinateur ou non ? Sur le corps des nombres réels, comme sur celui des nombres complexes ou même d’autres plus abstraits, on sait effectuer quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication et division. Si une variable x est impliquée, cela nous mène aux fractions rationnelles, c’est-à-dire aux polynômes et à leurs quotients. À ce niveau, la question devient : peut-on remplacer une fonction quelconque par un polynôme ?
De l’approximation d’une fonction
Posée dans toute sa généralité, la réponse est bien entendu négative. Il est nécessaire d’imposer des conditions à la fonction et à son domaine de définition. On doit au mathématicien allemand Karl Weierstrass le théorème le plus simple sur la question : une fonction f continue sur un segment [a, b] peut être approchée d’aussi près que l’on veut par un polynôme P.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897).
Plus précisément, étant donné une fonction f continue sur [a, b] et > 0 (aussi petit que l’on veut), il existe un polynôme P tel que | f (x) – P (x) | <
pour tout x appartenant à l’intervalle [a, b]. L’idée la plus simple pour trouver un tel polynôme (et donc démontrer le théorème) est ...
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