Deux théorèmes pour le prix d'un


Élisabeth Busser

L'idée d'associer, de manière réglementée, deux objets mathématiques, permet d'élargir certains résultats sans tout réinventer : c'est tout l'intérêt de la notion de dualité. Ou comment faire, mathématiquement, d'une pierre deux coups.

Le mot « dual »s’applique en mathématiques de multiples façons : on parle de dual d’un espace vectoriel (voir article « L'échangisme en géométrie » ), d’un polyèdre, d’un graphe, et même de dual d’un théorème. Cette notion de « théorèmes duaux » est fondamentale. Le domaine de la géométrie projective est tout indiqué pour illustrer l’importance de la dualité.

Si les objets auxquels on applique le mot « dual » sont différents, un même phénomène est en fait à l’œuvre : à partir d’un ensemble E d’objets, si l’on peut associer, par une bijection, à tout élément X de E un élément Y d’un autre ensemble E*, on dit que E* est le dual de E. Ainsi, le dual du dual de E est E lui-même. La signification précise du mot peut toutefois prendre, selon les cas, diverses formes. Un premier exemple, élémentaire, est celui du complémentaire d’un ensemble : à tout élément X de l’ensemble   des parties d’un ensemble donné E, on associe son complémentaire X’ dans E. L’ensemble   est son propre dual dans cette opération.

 

 

 

 

Le dual du tétraèdre est un tétraèdre, le dual d’un octaèdre est un cube (et réciproquement), le dual d’un dodécaèdre est ... Lire la suite