Définir précisément la notion d'enveloppe d'une famille de droites est plus subtil qu'il n'y paraît. On s'en rend compte en cherchant à généraliser cette idée à une famille de courbes quelconques. Le point de vue introduit par René Thom permet de contourner les difficultés.

On a su définir l’enveloppe d’une famille de droites ; cet objet mathématique se prête à de jolies propriétés et figures géométriques. Pourquoi ne pas poursuivre dans cette voie et définir une notion d’enveloppe de familles de courbes (C t ) t ?

Une première définition, naturelle, serait : « Courbe ou droite tangente à toutes les courbes C t , pour chaque réel t. » Une seconde définition, plus rigoureuse, serait : « Lieu des points caractéristiques, à savoir les points communs à la courbe C t et à une courbe “infiniment voisine” de la famille, c’est-à-dire à une courbe C t’ , où t’ est “infiniment voisin” de t. » Peut-on rendre ces deux points de vue compatibles ?

Le cas des droites

En fait, les deux définitions proposées sont… « presque » équivalentes. Voyons-le dans le cas d’une famille de droites (Dt ) t , d’équation générique a (t) x + b (t) y + c (t) = 0. Un réel « infiniment voisin » de t s’écrit t’ = t + dt, avec dt « petit ». La seule règle de calcul dont on a besoin est f (t + dt) = f (t) + f ’(t) dt lorsque f est une fonction dérivable.

La droite « infiniment voisine » de D t a pour équation :

a (t + dt) x + b (t + dt) y + c (t + ... Lire la suite