Les paris résolus par la géométrie


Philippe Boulanger

Certaines probabilités de gain peuvent être déterminées par des considérations de géométrie, évitant ainsi de long calculs.

Le passe-dix

Vous connaissez le jeu de passe-dix ? On lance trois dés. Si la somme indiquée par les faces supérieures des trois dés dépasse dix, alors le lanceur est gagnant, sinon il perd. Le jeu est ancien et a suscité de nombreux problèmes. L'écrivain français du XIXe siècle Villiers de L'Isle-Adam regrettait que « les cornets de passe-dix roulaient des dés sur des enjeux capables d'affamer des provinces ».

Quelle est la probabilité de gain du lanceur ? On peut effectuer de longs calculs combinatoires pour évaluer la probabilité de chaque tirage, mais il est plus astucieux de remarquer que la somme des chiffres sur deux faces opposées d'un dé est égale à 7. Le total pour les trois dés des chiffres inscrits sur les faces opposées d'un dé est donc égale à 21.

À chaque tirage de trois dés dont la somme est inférieure à 10 correspond, sur les faces symétriques (bases sur lesquelles les dés reposent), une somme supérieure à 10… et inversement. Donc la probabilité de gain est 1/2. Tout simplement !

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