La géométrie a ses secrets, elle permet souvent de résoudre ses problèmes d'extremum dans recourir à l'analyse ou à l'algèbre. C'est aussi l'occasion de revisiter quelques résultats classiques de la géométrie du triangle.

De nombreux problèmes d'optimisation proviennent de situations géométriques : minima ou maxima de longueurs, d'aires, d'angles. La plupart ont évidemment une solution algébrique, mais on peut aussi, avec un peu d'astuce, leur trouver une solution exclusivement géométrique, preuve que l'on peut optimiser sans dériver !

D'illustres exemples

 

Elyssa, princesse de Tyr, qui, selon la légende, fuit son frère Pygmalion après qu'il eut assassiné son époux, au IXe siècle avant notre ère, trouve refuge dans l'actuelle Tunisie, où les autochtones ne lui concèdent que ce que pourrait couvrir… la peau d'un bœuf. Qu'à cela ne tienne, elle découpe cette peau en fines lanières pour en faire une corde de quatre kilomètres de long, qu'elle va utiliser au mieux pour encercler son territoire et y fonder la ville de Carthage, dont elle deviendra la première reine sous le nom de Didon. Le problème de Didon est l'un des plus anciens problèmes d'optimisation, dit isopérimétrique : maximiser une aire pour un périmètre donné. La forme du territoire envisagé par Didon sera un demi-cercle ayant le rivage du golfe de Tunis pour diamètre.

 

Un peu plus proche de nous, cet autre magnifique problème d'optimisation a été posé pour la première fois en 1636 par Pierre ... Lire la suite